摘要
895.
最长上升子序列 - AcWing题库：LIS模板题（DP）（O(N^2)）
896.
最长上升子序列 II - AcWing题库：LIS模板题（贪心 +
二分）O(N*LogN)
1017.
怪盗基德的滑翔翼 - AcWing题库：LIS二次遍历，求max（上升，下降）
1014. 登山 -
AcWing题库：求 先上升再下降 的最大长度
482. 合唱队形 -
AcWing题库:
1014的变形，求最少删去多少个数，可以构成先上升再下降的序列
1012. 友好城市
- AcWing题库：两个序列的LIS，一个作为下标，一个作为数值
1016.
最大上升子序列和 - AcWing题库：求最大和，只需要将 dp[j] + 1 改为
dp[j] + a[i](注意最大和长度可能为1)
1010. 拦截导弹
- AcWing题库：覆盖整个序列的最少的不上升子序列的个数 ==
最长上升子序列的长度
187.
导弹防御系统 - AcWing题库：覆盖整个序列的最少的子序列个数（上升 或
下降）的个数 -> DFS
272.
最长公共上升子序列 -
AcWing题库：LCIS模板题，O(N^2)解法，前缀最大值优化
题谱
895 最长上升子序列
给定一个长度为 N
的数列，求数值严格单调递增的子序列的长度最长是多少。
输入格式
第一行包含整数 N。
第二行包含 N个整数，表示完整序列。
输出格式
输出一个整数，表示最大长度。
数据范围
1≤N≤1000 −109≤数列中的数≤109
输入样例：
输出样例
题解
动态规划O(N^2)
代码
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| #include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 1e4;
int n,res;
int a[maxn],dp[maxn];
int main(void){
cin>>n;
for(int i = 1 ; i <= n ; i ++){
cin>>a[i];
}
for(int i = 2 ; i <= n ; i ++){
for(int j = 1 ; j < i ; j ++){
if(a[i] > a[j]){
dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
res = max(res, dp[i]);
}
}
}
cout<<res+1;
return 0;
}
|
896 最长上升子序列 II
给定一个长度为 N
的数列，求数值严格单调递增的子序列的长度最长是多少。
输入格式
第一行包含整数 N。
第二行包含 N 个整数，表示完整序列。
输出格式
输出一个整数，表示最大长度。
数据范围
1≤N≤100000 −10^9≤数列中的数≤10^9
输入样例
输出样例
题解
二分+贪心O(N*logN)
代码
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| #include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 1e4;
int n,cnt;
int low[maxn],a[maxn];
int binarySearch(int l, int r, int x){
while(l+1 != r){
int mid = (l+r)/2;
if(low[mid] < x){
l = mid;
}else{
r = mid;
}
}
return r;
}
int main(void){
cin>>n;
for(int i = 1 ; i <= n ; i ++){
cin>>a[i];
}
low[++cnt] = a[1];
for(int i = 2 ; i <= n ; i ++){
if(a[i] > low[cnt]){
low[++cnt] = a[i];
}else{
int j = binarySearch(0, cnt, a[i]);
low[j] = a[i];
}
}
cout<<cnt;
return 0;
}
|
1017 怪盗基德的滑翔翼
怪盗基德是一个充满传奇色彩的怪盗，专门以珠宝为目标的超级盗窃犯。
而他最为突出的地方，就是他每次都能逃脱中村警部的重重围堵，而这也很大程度上是多亏了他随身携带的便于操作的滑翔翼。
有一天，怪盗基德像往常一样偷走了一颗珍贵的钻石，不料却被柯南小朋友识破了伪装，而他的滑翔翼的动力装置也被柯南踢出的足球破坏了。
不得已，怪盗基德只能操作受损的滑翔翼逃脱。
假设城市中一共有N幢建筑排成一条线，每幢建筑的高度各不相同。
初始时，怪盗基德可以在任何一幢建筑的顶端。
他可以选择一个方向逃跑，但是不能中途改变方向（因为中森警部会在后面追击）。
因为滑翔翼动力装置受损，他只能往下滑行（即：只能从较高的建筑滑翔到较低的建筑）。
他希望尽可能多地经过不同建筑的顶部，这样可以减缓下降时的冲击力，减少受伤的可能性。
请问，他最多可以经过多少幢不同建筑的顶部(包含初始时的建筑)？
输入格式
输入数据第一行是一个整数K，代表有K组测试数据。
每组测试数据包含两行：第一行是一个整数N，代表有N幢建筑。第二行包含N个不同的整数，每一个对应一幢建筑的高度h，按照建筑的排列顺序给出。
输出格式
对于每一组测试数据，输出一行，包含一个整数，代表怪盗基德最多可以经过的建筑数量。
数据范围
1≤K≤100 1≤N≤100 0<h<10000
输入样例
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7
| 3
8
300 207 155 299 298 170 158 65
8
65 158 170 298 299 155 207 300
10
2 1 3 4 5 6 7 8 9 10
|
输出样例
题解
怪盗基德可以从左到右滑行，也可以从右到左滑行。基德每次滑行必须严格下降，求最大长度。
相当于计算 Max( 最长上升子序列长度，最长下降子序列长度）。
代码
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41
| #include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 200;
int t,n,res;
int a[maxn],dp[maxn];
void solve(){
res = 0;
cin>>n;
for(int i = 1 ; i <= n ; i ++){
cin>>a[i];
}
memset(dp,0,sizeof(dp));
for(int i = 2 ; i <= n ; i ++){
for(int j = 1 ; j < i ; j ++){
if(a[i] > a[j]){
dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
res = max(res, dp[i]);
}
}
}
memset(dp,0,sizeof(dp));
for(int i = 2 ; i <= n ; i ++){
for(int j = 1 ; j < i ; j ++){
if(a[i] < a[j]){
dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
res = max(res, dp[i]);
}
}
}
cout<<res+1<<"\n";
}
int main(void){
cin>>t;
while(t--){
solve();
}
return 0;
}
|
1014 登山
五一到了，ACM队组织大家去登山观光，队员们发现山上一共有N个景点，并且决定按照顺序来浏览这些景点，即每次所浏览景点的编号都要大于前一个浏览景点的编号。
同时队员们还有另一个登山习惯，就是不连续浏览海拔相同的两个景点，并且一旦开始下山，就不再向上走了。
队员们希望在满足上面条件的同时，尽可能多的浏览景点，你能帮他们找出最多可能浏览的景点数么？
输入格式
第一行包含整数N，表示景点数量。
第二行包含N个整数，表示每个景点的海拔。
输出格式
输出一个整数，表示最多能浏览的景点数。
数据范围
2≤N≤1000
输入样例
1
2
| 8
186 186 150 200 160 130 197 220
|
输出样例
题解
登山队先上山后下山，且海拔必须严格上升和下降。
本质是 求 先上升后下降
的最大序列长度。因此，我们从左到右遍历一次上升序列，在从右到左遍历一次下降序列。
dp1[i] + 1 表示从1到i的最大长度，dp2[i] + 1表示从n到i的最大长度。
res = max(res, dp1[i] + dp2[i] + 1)
此处不是+2，而是+1，是因为要减去重合点 i。
代码
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| #include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 2000;
int n,res;
int a[maxn],dp1[maxn],dp2[maxn];
int main(void){
cin>>n;
for(int i = 1 ; i <= n ; i ++){
cin>>a[i];
}
for(int i = 2 ; i <= n ; i ++){
for(int j = 1 ; j < i ; j ++){
if(a[i] > a[j]){
dp1[i] = max(dp1[i],dp1[j]+1);
}
}
}
for(int i = n-1 ; i >= 1 ; i --){
for(int j = n ; j >= i+1 ; j --){
if(a[i] > a[j]){
dp2[i] = max(dp2[i], dp2[j]+1);
}
}
}
for(int i = 1 ; i <= n ; i ++){
res = max(res,dp1[i]+dp2[i]);
}
cout<<res+1;
return 0;
}
|
482 合唱队形
NN 位同学站成一排，音乐老师要请其中的 (N−K)(N−K)
位同学出列，使得剩下的 KK 位同学排成合唱队形。
合唱队形是指这样的一种队形：设 KK 位同学从左到右依次编号为
1，2…，K他们的身高分别为 T1，T2，…，TK 则他们的身高满足
T1<…Ti+1>…>TK(1≤i≤K)
你的任务是，已知所有 N
位同学的身高，计算最少需要几位同学出列，可以使得剩下的同学排成合唱队形。
输入格式
输入的第一行是一个整数 N，表示同学的总数。
第二行有 N 个整数，用空格分隔，第 i个整数 Ti 是第 i
位同学的身高(厘米)。
输出格式
输出包括一行，这一行只包含一个整数，就是最少需要几位同学出列。
数据范围
2≤N≤100 130≤Ti≤230
输入样例
1
2
| 8
186 186 150 200 160 130 197 220
|
输出样例
题解
这题和1014类似，问最少需要多少人出队，其实就是在问最多剩下多少人。
这个问题和1014相同，使用总数减去结果即可。
代码
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| #include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 200;
int n,res;
int a[maxn],dp1[maxn],dp2[maxn];
int main(void){
cin>>n;
for(int i = 1 ; i <= n ; i ++){
cin>>a[i];
}
for(int i = 2 ; i <= n ; i ++){
for(int j = 1 ; j < i ; j ++){
if(a[i] > a[j]){
dp1[i] = max(dp1[i],dp1[j]+1);
}
}
}
for(int i = n-1 ; i >= 1 ; i --){
for(int j = n ; j >= i+1 ; j --){
if(a[i] > a[j]){
dp2[i] = max(dp2[i], dp2[j]+1);
}
}
}
for(int i = 1 ; i <= n ; i ++){
res = max(res,dp1[i]+dp2[i]);
}
cout<<n-(res+1);
return 0;
}
|
1012 友好城市
Palmia国有一条横贯东西的大河，河有笔直的南北两岸，岸上各有位置各不相同的N个城市。
北岸的每个城市有且仅有一个友好城市在南岸，而且不同城市的友好城市不相同。
每对友好城市都向政府申请在河上开辟一条直线航道连接两个城市，但是由于河上雾太大，政府决定避免任意两条航道交叉，以避免事故。
编程帮助政府做出一些批准和拒绝申请的决定，使得在保证任意两条航线不相交的情况下，被批准的申请尽量多。
输入格式
第1行，一个整数N，表示城市数。
第2行到第n+1行，每行两个整数，中间用1个空格隔开，分别表示南岸和北岸的一对友好城市的坐标。
输出格式
仅一行，输出一个整数，表示政府所能批准的最多申请数。
数据范围
1≤N≤500 0≤xi≤10000
输入样例
1
2
3
4
5
6
7
8
| 7
22 4
2 6
10 3
15 12
9 8
17 17
4 2
|
输出样例
题解
在河的南北两岸分别有n队友好城市，每对友好城市可以修建桥梁。现在给定每对城市的坐标，求最大桥梁数量。这里只需要用北岸城市坐标排序，并将南岸城市的坐标当作数值，求最长上升子序列即可。
代码
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| #include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 1e4;
int n,res;
int dp[maxn];
struct city{
int a,b;
bool operator<(const city & rhs){
return a < rhs.a;
}
}c[maxn];
int main(void){
cin>>n;
for(int i = 1 ; i <= n ; i ++){
cin>>c[i].a>>c[i].b;
}
sort(c+1,c+n+1);
for(int i = 2 ; i <= n ; i ++){
for(int j = 1 ; j < i ; j ++){
if(c[i].b > c[j].b){
dp[i] = max(dp[i],dp[j]+1);
res = max(dp[i],res);
}
}
}
cout<<res+1;
return 0;
}
|
1016 最大上升子序列和
一个数的序列 bi，当 b1<b2<…<bS
的时候，我们称这个序列是上升的。
对于给定的一个序列(a1,a2,…,aN)，我们可以得到一些上升的子序列(ai1,ai2,…,aiK)，这里1≤i1<i2<…<iK≤N
比如，对于序列(1,7,3,5,9,4,8)，有它的一些上升子序列，如(1,7),(3,4,8)等等。
这些子序列中和最大为18，为子序列(1,3,5,9)的和。
你的任务，就是对于给定的序列，求出最大上升子序列和。
注意，最长的上升子序列的和不一定是最大的，比如序列(100,1,2,3)的最大上升子序列和为100，而最长上升子序列为(1,2,3)。
输入格式
输入的第一行是序列的长度N。
第二行给出序列中的N个整数，这些整数的取值范围都在0到10000(可能重复)。
输出格式
输出一个整数，表示最大上升子序列和。
数据范围
1≤N≤1000
输入样例
输出样例
题解
求最大长度：dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
求最大和：dp[i] = max(dp[i], dp[j] + a[i]);
- 注意需要考虑 长度为1的最大值，例如：100 1 2 3
代码
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| #include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 2000;
int n,res;
int a[maxn],dp[maxn];
int main(void){
cin>>n;
for(int i = 1 ; i <= n ; i ++){
cin>>a[i];
dp[i] = a[i];
res = max(dp[i], res);
}
for(int i = 2 ; i <= n ; i ++){
for(int j = 1 ; j < i ; j ++){
if(a[i] > a[j]){
dp[i] = max(dp[i], dp[j] + a[i]);
res = max(dp[i], res);
}
}
}
cout<<res;
return 0;
}
|
1010 拦截导弹
某国为了防御敌国的导弹袭击，发展出一种导弹拦截系统。
但是这种导弹拦截系统有一个缺陷：虽然它的第一发炮弹能够到达任意的高度，但是以后每一发炮弹都不能高于前一发的高度。
某天，雷达捕捉到敌国的导弹来袭。
由于该系统还在试用阶段，所以只有一套系统，因此有可能不能拦截所有的导弹。
输入导弹依次飞来的高度（雷达给出的高度数据是不大于30000的正整数，导弹数不超过1000），计算这套系统最多能拦截多少导弹，如果要拦截所有导弹最少要配备多少套这种导弹拦截系统。
输入格式
共一行，输入导弹依次飞来的高度。
输出格式
第一行包含一个整数，表示最多能拦截的导弹数。
第二行包含一个整数，表示要拦截所有导弹最少要配备的系统数。
数据范围
雷达给出的高度数据是不大于 30000 的正整数，导弹数不超过 1000。
输入样例
1
| 389 207 155 300 299 170 158 65
|
输出样例
题解
求解这道题的关键在于下面这个性质 \[
覆盖整个序列的最少的不上升子序列的个数 == 最长上升子序列的长度
\] 所以，这题的第二问可以转化为：求最长上升子序列的长度。
证明：AcWing
1010. 拦截导弹【附贪心证明】 - AcWing
代码
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| #include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 2000;
int a[maxn],dp1[maxn],dp2[maxn];
int n,res,cnt;
int main(void){
while(cin>>a[n+1]){n++;}
for(int i = 2 ; i <= n ; i ++){
for(int j = 1 ; j < i ; j ++){
if(a[i] <= a[j]) dp1[i] = max(dp1[i], dp1[j] + 1);
else dp2[i] = max(dp2[i], dp2[j]+1);
res = max(dp1[i],res);
cnt = max(dp2[i],cnt);
}
}
cout<<res+1<<"\n"<<cnt+1;
return 0;
}
|
187 导弹防御系统
为了对抗附近恶意国家的威胁，RR 国更新了他们的导弹防御系统。
一套防御系统的导弹拦截高度要么一直 严格单调
上升要么一直 严格单调 下降。
例如，一套系统先后拦截了高度为 3 和高度为 4
的两发导弹，那么接下来该系统就只能拦截高度大于 4的导弹。
给定即将袭来的一系列导弹的高度，请你求出至少需要多少套防御系统，就可以将它们全部击落。
输入格式
输入包含多组测试用例。
对于每个测试用例，第一行包含整数 n，表示来袭导弹数量。
第二行包含 n 个不同的整数，表示每个导弹的高度。
当输入测试用例 n=0 时，表示输入终止，且该用例无需处理。
输出格式
对于每个测试用例，输出一个占据一行的整数，表示所需的防御系统数量。
数据范围
1≤n≤501≤n≤50
输入样例
输出样例
样例解释
对于给出样例，最少需要两套防御系统。
一套击落高度为 3,43,4 的导弹，另一套击落高度为 5,2,15,2,1
的导弹。
题解
这题需要使用dfs求解。
首先，使用up和down数组分别保存当前所有的上升/下降序列的末尾值
然后，从d=1到d=n依次处理每个数，每次处理考虑四种情况：
1）插入已存在的上升序列；
2）创建并插入新的上升序列；
3）插入已存在的下降序列中；
4）创建一个新下降序列；
最后，使用全局的ans剪枝，考虑所有情况后，得到最优解。
代码
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| #include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 100;
int n,ans;
int a[maxn],up[maxn],down[maxn];
void dfs(int d, int u, int v){
if(u+v >= ans) return;
if(d == n+1){
ans = min(ans, u+v);
return;
}
int f = 0;
for(int i = 1 ; i <= u ; i++){
if(a[d] > up[i]){
f = i;
int t = up[i];
up[i] = a[d];
dfs(d+1,u,v);
up[i] = t;
break;
}
}
if(f == 0){
up[u+1] = a[d];
dfs(d+1,u+1,v);
}
f = 0;
for(int i = 1 ; i <= v ; i++){
if(a[d] < down[i]){
f = i;
int t = down[i];
down[i] = a[d];
dfs(d+1,u,v);
down[i] = t;
break;
}
}
if(f == 0){
down[v+1] = a[d];
dfs(d+1,u,v+1);
}
}
int main(void){
while(cin>>n, n){
for(int i = 1 ; i <= n ; i ++){
cin>>a[i];
}
ans = n;
dfs(1,0,0);
cout<<ans<<"\n";
}
return 0;
}
|
272 最长公共上升子序列
熊大妈的奶牛在小沐沐的熏陶下开始研究信息题目。
小沐沐先让奶牛研究了最长上升子序列，再让他们研究了最长公共子序列，现在又让他们研究最长公共上升子序列了。
小沐沐说，对于两个数列 A 和
B，如果它们都包含一段位置不一定连续的数，且数值是严格递增的，那么称这一段数是两个数列的公共上升子序列，而所有的公共上升子序列中最长的就是最长公共上升子序列了。
奶牛半懂不懂，小沐沐要你来告诉奶牛什么是最长公共上升子序列。
不过，只要告诉奶牛它的长度就可以了。
数列 AA 和 BB 的长度均不超过 3000。
输入格式
第一行包含一个整数 N，表示数列 A，B 的长度。
第二行包含 N 个整数，表示数列 A。
第三行包含 N 个整数，表示数列 B。
输出格式
输出一个整数，表示最长公共上升子序列的长度。
数据范围
1≤N≤3000
序列中的数字均不超过 2^31−1。
输入样例
输出样例
题解
设dp[i][j]为：考虑从a的[1,i]区间 和
b的[1,j]的区间，且以b[j]结尾的LCIS长度
更新dp[i][j]策略如下：
从小到大遍历每一个i和j，判断a[i]是否等于b[j]，
若a[i] != b[j]，则a[i]对LCIS的长度没有贡献，dp[i][j] =
dp[i-1][j]；
若a[i] == b[j]，则往前遍历所有dp[i][k](k < j && a[i] >
b[k])，更新dp[i][j] 为 dp[i][k]+1的最大值；
最后，答案为dp[i][j]的最大值。
代码
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| #include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 3050;
int n,ans;
int a[maxn],b[maxn],dp[maxn][maxn];
int main(void){
cin>>n;
for(int i = 1 ; i <= n ; i ++){
cin>>a[i];
}
for(int i = 1 ; i <= n ; i ++){
cin>>b[i];
}
for(int i = 1 ; i <= n ; i ++){
for(int j = 1 ; j <= n ; j ++){
if(a[i] != b[j]) dp[i][j] = dp[i-1][j];
else{
int maxv = 1;
for(int k = 1 ; k <= j ; k ++){
if(a[i] > b[k]){
maxv = max(dp[i][k]+1, maxv);
}
}
dp[i][j] = max(dp[i][j], maxv);
}
ans = max(dp[i][j],ans);
}
}
cout<<ans;
return 0;
}
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| #include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 3050;
int n,ans;
int a[maxn],b[maxn],dp[maxn][maxn];
int main(void){
cin>>n;
for(int i = 1 ; i <= n ; i ++){
cin>>a[i];
}
for(int i = 1 ; i <= n ; i ++){
cin>>b[i];
}
for(int i = 1 ; i <= n ; i ++){
int maxv = 1;
for(int j = 1 ; j <= n ; j ++){
if(a[i] != b[j]) dp[i][j] = dp[i-1][j];
else dp[i][j] = max(dp[i][j], maxv);
if(a[i] > b[j]) maxv = max(maxv, dp[i - 1][j] + 1);
ans = max(dp[i][j],ans);
}
}
cout<<ans;
return 0;
}
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